Divizori comuni, multipli comuni

11 noiembrie 2013  
Divizori comuni, multipli comuni 5/5 (100%) 2 voturi

Matematica-Clasa-a-VI-aDivizori comuni

Cel mai mare divizor comun
Date fiind două sau mai multe  numere naturale, nu toate nule, mulţimea divizorilor comuni este nevidă, deoarece conţine cel puţin un element, şi anume pe 1.

Definiţie
Numărul natural d este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale a şi b, nu ambele nule, dacă satisface simultan condiţiile:
a) d divide pe a şi d divide pe b;
b) d este divizibil cu orice divizor comun al numerelor a şi b.

Cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b se notează c.m.m.d.c.(a,b) sau (a,b).

(a,b) = d dacă şi numai dacă:
d|a şi d|b
dacă i|a şi i|b, atunci i|d

Numere prime între ele
Două numere naturale a şi b se numesc prime între ele, dacă cel mai mare divizor comun al lor este egal cu 1. Două numere prime între ele se mai numesc şi relativ prime sau coprime.

Multipli comuni

Cel mai mic multiplu comun
Mulţimea multiplilor unui număr natural nenul este infinită. Mulţimea multiplilor comuni a două numere naturale, nenule, este şi ea infinită, deoarece conţine cel puţin produsul numerelor şi toţi multiplii acestuia.

Definiţie
Numărul natural m este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale a şi b dacă satisface simultan condiţiile:
a) m este divizibil cu a şi b;
b) orice alt multiplu al numerelor a şi b este divizibil cu m.

Cel mai mic multiplu comun al numerelor a şi b se notează c.m.m.m.c.[a,b] sau [a,b].

[a,b] = m dacă şi numai dacă:
a|m şi b|m
a|M şi b|M, atunci m|M