Bisectoarele şi mediatoarele unui triunghi

Bisectoarele unui triunghi

Proprietatea bisectoarei:
Un punct din interiorul unui unghi propriu aparţine bisectoarei unghiului dacă şi numai dacă distanţele de la punct la laturile unghiului sunt egale.

Definiţie:
Un segment este o bisectoare a unui triunghi dacă:
1) este inclus în bisectoarea unui unghi al triunghiului;
2) capetele sale sunt vârful acelui unghi şi un punct de pe latura opusă lui, numit piciorul bisectoarei.
[AD] este o bisectoare a triunghiului ABC; D este piciorul bisectoarei.

Teoremă:
Într-un triunghi cele trei bisectoare sunt concurente (au un punct comun unic).
Demonstraţie:
Fie triunghiul ABC, I intersecţia bisectoarelor unghiurilor A şi B, iar E, F, G picioarele perpendicularelor din I respectiv pe AC, AB, BC.
1. IE = IF (proprietatea bisectoarei);
2. IF = IG (proprietatea bisectoarei);
3. IE = IG (tranzitivitatea egalităţii);
4. I aparţine bisectoarei unghiului C (proprietatea bisectoarei).

După cum am văzut, punctul de intersecţie a celor trei bisectoare ale triunghiului ABC are aceeaşi distanţă faţă de laturile triunghiului: IE = IF = IG. Prin urmare punctele E, F, G aparţin aceluiaşi cerc, cu centrul în I, numit cercul înscris în triunghi.


Mediatoarele unui triunghiMediatoarele unui triunghi

Definiţie:
Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul său.

Proprietatea mediatoarei:
Un punct aparţine mediatoarei unui segment dacă şi numai dacă are distanţe egale faţă de extremităţile segmentului.

Observaţie:
Dacă două puncte diferite sunt egal depărtate de capetele unui segment, atunci dreapta determinată de ele este mediatoarea segmentului respectiv.

Teoremă:
Într-un triunghi mediatoarele celor trei laturi sunt concurente.

Punctul O, intersecţia mediatoarelor laturilor triunghiului ABC, se află la aceeaşi distanţă faţă de vârfurile triunghiului: OA = OB = OC. Prin urmare, punctele A, B, C aparţin aceluiaşi cerc cu centrul în O, numit cercul circumscris triunghiului ABC.

Bisectoarele şi mediatoarele unui triunghi publicat: 2014-03-11T21:43:47+00:00, actualizat: 2016-03-22T13:41:39+00:00 by Gimnaziu.info

Lasa un comentariu

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *