Media aritmetică ponderată
Media aritmetică ponderată (sau media ponderată) a n numere reale este egală cu suma produselor dintre ponderi şi numere, împărţită la suma ponderilor.
a1 … an ∈ R sunt numerele reale a căror medie vrem să o aflăm;
p1 … pn ∈ R sunt ponderile (n ∈ N∗).
Ponderea unui număr
Ponderea unui număr a este chiar numărul care ne arată de câte ori se repetă numărul a.
Media ponderată se aplică atunci când numerele se repetă.
Exemplul 1 (Media aritmetică ponderată)
Avem numerele 10, 20, 30, 10, 20 şi 10.
a) Cum calculam media aritmetică
Până acum ştiam să calculăm media aritmetică a numerelor astfel:
1. adunam numerele (10 + 20 + 30 + 10 + 20 + 10);
2. le împărţeam la numărul lor (6);
3. obţineam media aritmetică: (10 + 20 + 30 + 10 + 20 + 10)/6 = 100/6.
b) Cum calculăm media aritmetică ponderată
Media aritmetică ponderată simplifică acest calcul.
1. Mai întâi stabilim ponderea fiecărui număr:
– avem 3 numere de 10, 2 numere de 20 şi doar unul de 30;
– aşadar ponderile sunt aceste numere găsite 3, 2 şi 1.
2. Numărătorul (suma produselor dintre ponderi şi numere) devine conform formulei de mai sus:
– (3·10 + 2·20 + 1·30).
3. Numitorul (suma ponderilor) devine conform formulei de mai sus:
– (3 + 2 + 1).
4. Calculăm media aritmetică ponderată:
– (3·10 + 2·20 + 1·30)/(3 + 2 + 1) = 100/6.
Observaţia 1
Observăm că rezultatele (de la media aritmetică şi de la media ponderată) sunt aceleaşi!
Exemplul 2 (Media aritmetică ponderată)
Imaginaţi-vă că avem de calculat media aritmetică a unor numere care se repetă astfel:
523, 489, 965, 523, 489, 965, 523, 489, 965, 523, 489, 965, 523, 489, 965, 523, 489, 965, 489, 965, 523, 489, 965, 523, 489, 965, 523.
a) Putem calcula media aritmetică
adunând şirul kilometric şi împărţindu-l apoi la numărul de elemente din şir:
(523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523)/27 = x
b) Sau putem calcula media aritmetică ponderată
ştiind că numerele se repetă:
(9·523 + 9·489 + 9·965)/(9 + 9 + 9) = x
Observaţia 2
Observăm că media ponderată este mai rapidă!
Media aritmetică ponderată – Formula de calcul
Exemplul 3 (Media aritmetică ponderată)
Se dau numerele 10, 20 şi 30, cu ponderile 4, 5 şi 6.
Să se calculeze media ponderată.
Rezolvare:
mp (10,20,30/4,5,6) = ?
mp = (4·10 + 5·20 + 6·30)/(4 + 5 + 6) = 320/15.
Observaţia 3
Observăm că numerele care au ponderea mai mare influenţează mai mult media aritmetică ponderată.