I. Bisectoarele unui triunghi
1. Proprietatea bisectoarei (unui unghi)
Un punct din interiorul unui unghi propriu aparţine bisectoarei unghiului dacă şi numai dacă distanţele de la punct la laturile unghiului sunt egale.
2. Definiţia bisectoarei (unui triunghi)
Un segment este o bisectoare a unui triunghi dacă:
a) este inclus în bisectoarea unui unghi al triunghiului;
b) capetele sale sunt vârful acelui unghi şi un punct de pe latura opusă lui, numit piciorul bisectoarei.
[AD] este o bisectoare a triunghiului ABC;
D este piciorul bisectoarei.
3. Teoremă (concurenţa bisectoarelor)
Într-un triunghi cele trei bisectoare sunt concurente (au un punct comun unic).
3.1. Demonstraţie
Fie triunghiul ABC, I intersecţia bisectoarelor unghiurilor A şi B, iar E, F, G picioarele perpendicularelor din I respectiv pe AC, AB, BC.
1. IE = IF (proprietatea bisectoarei);
2. IF = IG (proprietatea bisectoarei);
3. IE = IG (tranzitivitatea egalităţii);
4. I aparţine bisectoarei unghiului C (proprietatea bisectoarei).
După cum am văzut, punctul de intersecţie a celor trei bisectoare ale triunghiului ABC are aceeaşi distanţă faţă de laturile triunghiului:
IE = IF = IG.
Prin urmare punctele E, F, G aparţin aceluiaşi cerc, cu centrul în I, numit cercul înscris în triunghi.
II. Mediatoarele unui triunghi
1. Definiţia mediatoarei (unui segment)
Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul său.
2. Proprietatea mediatoarei (unui segment)
Un punct aparţine mediatoarei unui segment dacă şi numai dacă are distanţe egale faţă de extremităţile segmentului.
3. Observaţie
Dacă două puncte diferite sunt egal depărtate de capetele unui segment, atunci dreapta determinată de ele este mediatoarea segmentului respectiv.
4. Teoremă (concurenţa mediatoarelor)
Într-un triunghi mediatoarele celor trei laturi sunt concurente.
Punctul O, intersecţia mediatoarelor laturilor triunghiului ABC, se află la aceeaşi distanţă faţă de vârfurile triunghiului:
OA = OB = OC.
Prin urmare, punctele A, B, C aparţin aceluiaşi cerc cu centrul în O, numit cercul circumscris triunghiului ABC.
Intersecţia bisectoarelor, Intersecţia mediatoarelor
