Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic
Proiecţii ortogonale pe o dreaptă
– Se numeşte proiecţia ortogonală a unui punct pe o dreaptă piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă.
– Se numeşte proiecţia ortogonală a unei figuri geometrice pe o dreaptă mulţimea proiecţiilor punctelor acelei figuri pe dreaptă.
Teoreme:
1) Proiecţia unui segment pe o dreaptă este un segment sau un punct.
2) Proiecţia unui segment pe o dreaptă are lungimea cel mult egală cu lungimea segmentului proiectat.
Teorema înălţimii
Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii înălţimii duse din vârful unghiului drept este egală cu produsul lungimii proiecţiilor catetelor pe ipotenuză.
AD2 = BD · DC
Teorema catetei
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei şi lungimea proiecţiei catetei pe ipotenuză.
AB2 = BC · BD
AC2 = BC · DC
Teorema lui Pitagora
Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
BC2 = AB2 + AC2
Reciproca teoremei lui Pitagora
Dacă într-un triunghi pătratul lungimii unei laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi atunci triunghiul este dreptunghic.
Dacă BC2 = AB2 + AC2 atunci ΔABC este dreptunghic.
Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic: sin, cos, tg, ctg
Sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangenta se numesc funcţii trigonometrice şi se notează cu sin, cos, tg, respectiv ctg.
Sinusul unui unghi
Într-un triunghi dreptunghic considerând măsura unui unghi ascuţit numim:
– sinusul lui, raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului şi lungimea ipotenuzei.
sin B = AC/BC
sin C = AB/BC
Cosinusul unui unghi
Într-un triunghi dreptunghic considerând măsura unui unghi ascuţit numim:
– cosinusul lui, raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului şi lungimea ipotenuzei.
cos B = AB/BC
cos C = AC/BC
Tangenta unui unghi
Într-un triunghi dreptunghic considerând măsura unui unghi ascuţit numim:
– tangenta lui, raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului şi lungimea catetei alăturate lui.
tg B = AC/AB
tg C = AB/AC
Cotangenta unui unghi
Într-un triunghi dreptunghic considerând măsura unui unghi ascuţit numim:
– cotangenta lui, raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului şi lungimea catetei opuse unghiului.
ctg B = AB/AC
ctg C = AC/AB
Reţineţi!
Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor a două laturi şi sinusul unghiului cuprins între ele.
AΔABC = 1/2 · AB · AC · sin A
AΔABC = 1/2 · BA · BC · sin B
AΔABC = 1/2 · CA · CB · sin C